Ausblick Im Zusammenhang mit gebrochenrationalen Funktionen gibt es einige Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden.
Wann wird der Nenner Null? $$ \begin{align*} x + 1 &= 0 &&|\, -1 \\[5px] x &= -1 \end{align*} $$ Für unsere Aufgabe gilt also: $\mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Nullstellen Hauptkapitel: Nullstellen berechnen 1) Funktionsgleichung gleich Null setzen $$ \frac{x^2}{x+1} $$ 2) Gleichung lösen Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler gleich Null ist – d. h. es reicht, wenn wir den Zähler untersuchen. $$ x^2 = 0 $$ $$ \Rightarrow x = 0 $$ Es handelt es um eine doppelte Nullstelle. Ableitung, Quotientenregel, Zähler, Nenner , | Mathe-Seite.de. Das bedeutet, dass es sich an dieser Stelle lediglich um einen Berührpunkt mit der $x$ -Achse handelt. y-Achsenabschnitt Hauptkapitel: $y$ -Achsenabschnitt berechnen Der $y$ -Achsenabschnitt entspricht dem Funktionswert an der Stelle $x=0$. Wir berechnen also $f(0)$: $$ f({\color{red}0}) = \frac{{\color{red}0}^2}{{\color{red}0}+1} = 0 $$ Der $y$ -Achsenabschnitt ist bei $y = 0$.
In diesem Kapitel führen wir eine Kurvendiskussion an einer gebrochenrationalen Funktion durch. Ableitung gebrochen rationaler funktionen. Gegeben sei die gebrochenrationale Funktion $$ f(x) = \frac{x^2}{x+1} $$ Wir sollen eine möglichst umfassende Kurvendiskussion durchführen. Ableitungen Hauptkapitel: Ableitung Wir berechnen zunächst die ersten beiden Ableitungen der Funktion, weil wir diese im Folgenden immer wieder brauchen. Um die Ableitungen einer gebrochenrationalen Funktion zu berechnen, brauchen wir stets die In Worten $$ f(x) = \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{\text{Nenner} \cdot \text{Ableitung Zähler} - \text{Zähler} \cdot \text{Ableitung Nenner}}{\text{Nenner}^2} $$ Merkregel $$ f(x) = \frac{\text{Z}}{\text{N}} \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{\text{NAZ} - \text{ZAN}}{\text{N}^2} \qquad \text{(NAZ minus ZAN durch N²)} $$ Gegebene Funktion $$ f(x) = \frac{x^2}{x+1} $$ 1. Ableitung $$ \begin{align*} f'(x) &= \frac{\overbrace{(x+1)}^\text{N} \cdot \overbrace{2x}^\text{AZ} - \overbrace{x^2}^\text{Z} \cdot \overbrace{1}^\text{AN}}{{\underbrace{(x+1)}_{\text{N}}}^2} \\[5px] &= \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} \\[5px] &= \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \end{align*} $$ 2.
18 Std. ) veranschaulichen die formale Definition der strengen Monotonie anhand geeigneter Skizzen und begründen damit z. B. die strenge Monotonie der Funktion x ↦ x 3 (x ∈ I R). Sie erläutern, wie man aus der ersten Ableitung einer Funktion Rückschlüsse auf deren Monotonieverhalten sowie auf deren Extremstellen ziehen kann, und nutzen diese Zusammenhänge bei der Untersuchung ganzrationaler Funktionen. interpretieren das Krümmungsverhalten des Funktionsgraphen als Monotonieverhalten der ersten Ableitung einer Funktion; sie erläutern, dass an einer Wendestelle die Steigung des Funktionsgraphen bzw. die lokale Änderungsrate der Funktion extremal ist, und interpretieren dies im Sachkontext (z. Gebrochenrationale Funktionen | Mathebibel. B. Zeitpunkt größten Wachstums). Sie untersuchen das Krümmungsverhalten ganzrationaler Funktionen mithilfe der zweiten Ableitung und ermitteln rechnerisch Wendestellen dieser Funktionen. unterscheiden bei Extremstellen und Wendestellen zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen. Sie begründen u. a., dass die Bedingung f ′(x 0) = 0 notwendig, aber nicht hinreichend für die Existenz einer Extremstelle einer differenzierbaren Funktion f an der Stelle x 0 ist.
Intervall ist die Funktion streng monoton steigend, weil die Funktion bis zum Hochpunkt steigt. Im 2. Intervall ist die Funktion streng monoton fallend, weil die Funktion zwischen Hochpunkt und Definitionslücke gegen - unendlich strebt. Im 3. Intervall ist die Funktion streng monoton fallend, weil die Funktion von + unendlich bis zum Tiefpunkt fällt. Im 4. Intervall ist die Funktion streng monoton steigend, weil die Funktion ab dem Tiefpunkt wieder steigt. Krümmung Hauptkapitel: Krümmungsverhalten Wann ist die 2. Ableitung gebrochen rationale funktion in 1. Ableitung größer Null? $$ \frac{2}{(x+1)^3} > 0 $$ Die Lösung der Bruchungleichung ist $$ x > -1 $$ $\Rightarrow$ Für $x > -1$ ist der Graph linksgekrümmt. $\Rightarrow$ Für $x < -1$ ist der Graph rechtsgekrümmt. Wendepunkt und Wendetangente Hauptkapitel: Wendepunkt und Wendetangente 1) Nullstellen der 2. Ableitung berechnen 1. 1) Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen $$ \frac{2}{(x+1)^3} = 0 $$ 1. Da der Zähler immer $2$ ist und deshalb nie Null werden kann, hat die die 2.